Олимпийская трасса для соревнований по бобслею в Лиллехаммере имеет перепад высот от старта до финишаНа стартовом горизонтальном участке («полоса разгона») спортсмены разогнали боб до скоростис которой пересекли линию старта. В конце спуска по ледяному жёлобу сразу после финиша используется специальное тормозное устройство для гашения скорости боба на горизонтальной поверхности. Определите тормозной путь боба, считая, что коэффициент трения увеличивается на этом участке пропорционально расстояниюот линии финиша:гдеПримите, что на участке трассы от конца полосы разгона до финиша за счет сил трения было потеряномеханической энергии боба.
 

 
            Решение задачи, очевидным образом, разбивается на две части: 1) определение скорости боба перед началом торможения; 2) собственно торможение. Первую часть решить совсем не трудно. Действительно, по закону сохранения энергии:
                                                                                                  (1)
Отсюда
                                                                                                            (2)
А вот дальше начинается как раз самое интересное, собственно, ради него и стоит решать задачу. И, по правде сказать, видел я много вариантов данной задачи, в том числе и без довеска в виде первой части, но привел именно эту формулировку просто потому, что она давалась на вступительных испытаниях в МГУ.
        Так что же делать дальше? Для начала запишем второй закон Ньютона в проекции на направление движения боба, отсчитывая координату от линии финиша и учитывая зависимость от нее коэффициента трения. Также вспомним, что проекция ускорения боба равна второй производной его координаты. Таким образом, имеем:
                                                                       
Отсюда
                                                                                                                                         (3)
где        
                                                                                                                                         (4)
Последнее равенство представляет собой не что иное, как уравнение гармонических колебаний в дифференциальном виде. Крутого поворота от темы "Законы сохранения" к теме "Гармонические колебания", или просто появления этой темы, не ожидает практически никто. В этом, по-моему, состоит главный подвох задач данного типа. Конечно, боб не будет совершать после финиша гармонические колебания. Однако процесс его торможения будет частью (четвертью периода) гармонического колебания, и, на это время, движение боба полностью описывается решением уравнения (3). Воспользоваться сделанным открытием можно двумя способами.
           1) Кинематический способ. Коль скоро, в момент начала торможения, сила трения, действующая на боб, равна нулю, его скорость в этот момент будет максимальной. Стало быть, в этот начальный момент времени боб находится в "положении равновесия", и движется в положительном направлении. Поэтому движение боба будет описываться законом синуса:
                                                                                                                           (5)
где — искомый тормозной путь боба. Продифференцировав (5), получим закон скорости боба:
                                                                                                                      
Из него, кстати, видно, что начальная скорость боба максимальна, что подтверждает правильность выбора закона движения. Далее
                                                                 
отсюда
                                                                                                                                               (6)
Подставляя (2) и (4) в (6), получим ответ в общем виде:
                                                                                                       (7)
      2) Энергетический способ. Очевидно, является амплитудой "колебания" боба. Воспользуемся тогда известным выражением потенциальной энергии гармонических колебаний:
                                                                                                              (8)
Здесь мы также воспользовались связью между циклической частотой гармонических колебаний и коэффициентом квазиупругой силы:
                                                                         
Если соотношение (8) для Вас не очевидно, то хорошо бы, чтобы оно стало таким, поскольку энергетический метод весьма активно применяется в колебаниях, а решение данной задачи он весьма упростит. Собственно, можно просто по-новому записать закон сохранения энергии — механическая энергия, сообщенная бобу к моменту окончания разгона, с учетом потерь, перейдет в "потенциальную энергию" его "колебания" в конце торможения:
                                             
Отсюда снова получаем ответ (7).  Численный расчет  дает  тормозной  путь, примерно, в 42 м, что вполне укладывается в рамки здравого смысла. Проделайте его самостоятельно.